Bài 1 trang 132 sgk đại số 11
Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) (underset{xrightarrow 4}{lim}frac{x+1}{3x – 2});
b) (underset{x rightarrow +infty }{lim}frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}).
Giải:
a) Hàm số (f(x) = frac{x +1}{3x – 2}) xác định trên (mathbb Rbackslash left{ {{2 over 3}} right}) và ta có (x = 4 in left( {{2 over 3}; + infty } right))
Giả sử ((x_n)) là dãy số bất kì và (x_n ∈ left( {{2 over 3}; + infty } right)); (x_n≠ 4) và (x_n→ 4) khi (n to + infty ).
Ta có (lim f(x_n) = lim frac{x_{n} +1}{3x_{n} – 2} = frac{4 + 1}{3. 4 – 2} = frac{1}{2}).
Vậy (underset{xrightarrow 4}{lim}) (frac{x +1}{3x – 2}) = (frac{1}{2}).
b) Hàm số (f(x)) = (frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3}) xác định trên (mathbb R).
Giả sử ((x_n)) là dãy số bất kì và (x_n→ +∞) khi (n to + infty )
Ta có (lim f(x_n) = lim frac{2-5x^{2}_{n}}{x^{2}_{n}+3}= lim frac{frac{2}{x^{2}_{n}}-5}{1+frac{3}{x^{2}_{n}}} = -5).
Vậy (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{2-5x^{2}}{x^{2}+3} = -5).
Bài 2 trang 132 sgk đại số 11
Cho hàm số
(f(x) = left{ matrix{ sqrt x + 1 text{ nếu }xge 0 hfill cr 2xtext{ nếu }x < 0 hfill cr} right.)
Và các dãy số ((u_n)) với (u_n= frac{1}{n}), ((v_n)) với (v_n= -frac{1}{n}).
Tính (lim u_n), (lim v_n), (lim f (u_n)) và (lim (v_n)).
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi (x → 0) ?
Hướng dẫn giải:
Ta có (lim u_n)= (lim frac{1}{n}= 0); (lim v_n= lim (-frac{1}{n}) = 0).
Do (u_n=frac{1}{n} > 0) và (v_n= -frac{1}{n} < 0) với (∀ nin {mathbb N}^*)
, nên (f(u_n)= sqrt{frac{1}{n}}+1) và (f(v_n) = -frac{2}{n}).
Từ đó ( lim f(u_n)= lim (sqrt{frac{1}{n}}+ 1) = 1); (lim f(v_n)= lim (-frac{2}{n}) = 0).
Vì (u_n→ 0) và (v_n → 0), nhưng (lim f(u_n) ≠ lim f(v_n)) nên hàm số (y = f(x)) không có giới hạn khi (x → 0).
Bài 3 trang 132 sgk đại số 11
Tính các giới hạn sau:
a) (underset{xrightarrow -3}{lim}) (frac{x^{2 }-1}{x+1});
b) (underset{xrightarrow -2}{lim}) (frac{4-x^{2}}{x + 2});
c) (underset{xrightarrow 6}{lim}) (frac{sqrt{x + 3}-3}{x-6});
d) (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{2x-6}{4-x});
e) (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{17}{x^{2}+1});
f) (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}).
Hướng dẫn giải:
a) (underset{xrightarrow -3}{lim}) (frac{x^{2 }-1}{x+1}) = (frac{(-3)^{2}-1}{-3 +1} = -4).
b) (underset{xrightarrow -2}{lim}) (frac{4-x^{2}}{x + 2}) = (underset{xrightarrow -2}{lim}) (frac{ (2-x)(2+x)}{x + 2}) = (underset{xrightarrow -2}{lim} (2-x) = 4).
c) (underset{xrightarrow 6}{lim}) (frac{sqrt{x + 3}-3}{x-6}) = (underset{xrightarrow 6}{lim}) (frac{(sqrt{x + 3}-3)(sqrt{x + 3}+3 )}{(x-6) (sqrt{x + 3}+3 )}) = (underset{xrightarrow 6}{lim}) (frac{x +3-9}{(x-6) (sqrt{x + 3}+3 )}) = (underset{xrightarrow 6}{lim}) (frac{1}{sqrt{x+3}+3}) = (frac{1}{6}).
d) (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{2x-6}{4-x}) = (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{2-frac{6}{x}}{frac{4}{x}-1} = -2).
e) (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{17}{x^{2}+1} = 0) vì (underset{xrightarrow +infty }{lim}) ((x^2+ 1) =) (underset{xrightarrow +infty }{lim} x^2( 1 + frac{1}{x^{2}}) = +∞).
f) (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{-2x^{2}+x -1}{3 +x}) = (underset{xrightarrow +infty }{lim}) (frac{-2+frac{1}{x} -frac{1}{x^{2}}}{frac{3}{x^{2}} +frac{1}{x}} = -∞), vì (frac{3}{x^{2}}+frac{1}{x} > 0) với (∀x>0).
Bài 4 trang 132 sgk đại số 11
Tính các giới hạn sau:
a) (underset{xrightarrow 2}{lim}) (frac{3x -5}{(x-2)^{2}});
b) (underset{xrightarrow 1^{-}}{lim}) (frac{2x -7}{x-1});
c) (underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}) (frac{2x -7}{x-1}).
Hướng dẫn giải:
a) Ta có (underset{xrightarrow 2}{lim} (x – 2)^2= 0) và ((x – 2)^2> 0) với (∀x ≠ 2) và (underset{xrightarrow 2}{lim} (3x – 5) = 3.2 – 5 = 1 > 0).
Do đó (underset{xrightarrow 2}{lim}) (frac{3x -5}{(x-2)^{2}} = +∞).
b) Ta có (underset{xrightarrow 1^{-}}{lim} (x – 1)=0) và (x – 1 < 0) với (∀x < 1) và (underset{xrightarrow 1^{-}}{lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 <0).
Do đó (underset{xrightarrow 1^{-}}{lim}frac{2x -7}{x-1} = +∞).
c) Ta có (underset{xrightarrow 1^{+}}{lim} (x – 1) = 0) và (x – 1 > 0) với (∀x > 1) và (underset{xrightarrow 1^{+}}{lim} (2x – 7) = 2.1 – 7 = -5 < 0).
Do đó (underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}) (frac{2x -7}{x-1}= -∞).
Giaibaitap.me